Soluzioni quesiti 4, 5 e 6 della seconda prova di Matematica Maturità 2026.
Pubblicato il da Redazione - Attualità
Maturità 2026: Scopri la Soluzione dei Quesiti 4, 5 e 6 della Seconda Prova del Liceo Scientifico
Dopo i primi tre quesiti dedicati a geometria piana, geometria nello spazio e all’applicazione dei logaritmi nello studio dei terremoti, la seconda prova di Matematica della Maturità 2026 prosegue con esercizi che richiedono una solida padronanza dell’analisi matematica e delle funzioni. I quesiti 4, 5 e 6 mettono alla prova gli studenti su argomenti fondamentali del programma del Liceo Scientifico: calcolo integrale, teorema fondamentale del calcolo, proprietà delle funzioni logaritmiche e loro asintoti, e studio delle funzioni razionali fratte.
Questi esercizi combinano rigore teorico e capacità di applicazione pratica. I candidati non devono solo eseguire i calcoli correttamente, ma anche dimostrare proprietà matematiche e ricavare equazioni a partire dalle condizioni assegnate. Di seguito, offriamo la soluzione dettagliata e commentata dei quesiti 4, 5 e 6, con tutti i passaggi utili per comprendere il procedimento e verificare la correttezza dei risultati.
Quesito 4: Analisi della Funzione F(x)
Si considera la funzione:
F(x) = ∫0x 1/(1+t²) dt + ∫11/x 1/(1+t²) dt, con x > 0
È necessario dimostrare che F(x) è costante e calcolarvi il valore. Iniziamo calcolando la derivata della funzione.
La derivata del primo integrale è:
F’1(x) = 1/(1+x²)
F’2(x) viene calcolata usando la regola della derivata di una funzione composta:
F’2(x) = 1/[1+(1/x)²] · (-1/x²)
Semplificando, si ottiene:
F’2(x) = -1/(x² + 1)
Quindi la derivata totale è:
F'(x) = 1/(1+x²) – 1/(1+x²) = 0
Poiché la derivata risulta zero per ogni x > 0, la funzione F(x) è costante. Per calcolarne il valore, possiamo scegliere un valore comodo, ad esempio x = 1.
F(1) = ∫01 1/(1+t²) dt + ∫11 1/(1+t²) dt
Il secondo integrale è nullo, quindi:
F(1) = ∫01 1/(1+t²) dt
La primitiva di 1/(1+t²) è arctan(t), dunque:
F(1) = arctan(1) – arctan(0) = π/4 – 0 = π/4
Quindi, la funzione è costante e vale:
F(x) = π/4
Quesito 5: Determinazione dei Parametri h e k
Si deve determinare il valore dei parametri reali h e k, con h ≠ 0 e k ≠ 0, affinché la curva:
y = h ln[(x² + k)⁵]
abbia le rette x = -√3 e x = √3 come asintoti verticali e che le tangenti nei punti A e B di intersezione con l’asse delle ascisse si incontrino nel punto C(0; -4).
Gli asintoti verticali della funzione logaritmica si verificano quando l’argomento del logaritmo tende a zero, cioè:
(x² + k)⁵ = 0
Imponiamo:
x² + k = 0
Da qui, segue:
x² = 3, quindi k = -3.
Sostituendo, la funzione diventa:
y = h ln[(x² – 3)⁵] = 5h ln(x² − 3)
Per trovare i punti di intersezione con l’asse x, poniamo y = 0:
5h ln(x² – 3) = 0
Poiché h ≠ 0, risolvendo si ottiene:
ln(x² – 3) = 0, quindi x² = 4 e x = ±2.
I punti di intersezione sono:
A(-2; 0) e B(2; 0).
Calcoliamo ora la derivata della funzione:
y = 5h ln(x² – 3)
y’ = 10hx/(x² – 3).
Nel punto B(2; 0):
y'(2) = 20h.
La tangente in B ha equazione:
y = 20h(x – 2).
Nella tangente in A(-2; 0):
y'(-2) = -20h e l’equazione della tangente sarà:
y = -20h(x + 2).
Imponendo le due tangenti di incontrarsi nel punto C(0; -4), sostituiamo x = 0 nella tangente in B:
-40h = -4, da cui risulta:
h = 1/10.
I valori richiesti sono dunque:
k = -3 e h = 1/10.
Quesito 6: Polinomio p(x) e Asintoti Obliqui
Si determina l’espressione del polinomio p(x) affinché il grafico della funzione:
f(x) = p(x)/(2x + 1)
passi per il punto P(1; 0) e abbia come asintoto obliquo la retta y = 3x – 2.
Poiché l’asintoto obliquo è y = 3x – 2, il polinomio p(x) è espresso come:
p(x) = (2x + 1)(3x – 2) + r, dove r è un resto costante.
Sviluppando il prodotto:
(2x + 1)(3x – 2) = 6x² – x – 2, così abbiamo:
p(x) = 6x² – x – 2 + r.
La funzione passa per il punto P(1; 0), quindi impostiamo:
p(1) = 0, determinando:
6 · 1² – 1 – 2 + r = 0.
Semplificando, troviamo:
3 + r = 0, da cui r = -3.
Quindi, l’espressione finale del polinomio è:
p(x) = 6x² – x – 5.
Per approfondire ulteriormente la tua preparazione, ti invitiamo a consultare anche il sito ufficiale del Ministero dell’Istruzione, oppure risorse didattiche specialistiche per il Liceo Scientifico.
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