Maturità 2026: Soluzione e risposte del Problema 2 di matematica.
Le funzioni assegnate sono:
fa(x) = ax² / (x – 1), con a ≠ 0
g(x) = |x| / (x² + 1)
Studio della Monotonia delle Funzioni
La funzione fa(x) è definita per x ≠ 1. Calcolando la derivata, otteniamo:
f’a(x) = a · x(x – 2) / (x – 1)²
Poiché il denominatore è sempre positivo, il segno della derivata è determinato da a · x(x – 2). Se a > 0, fa risulta crescente in (-∞, 0) e (2, +∞), e decrescente in (0, 1) e (1, 2). Se a < 0, la situazione si inverte.
I punti stazionari di fa sono x = 0 e x = 2. Per x = 2, si ha fa(2) = 4a. La funzione g(x) per x > 0 diventa g(x) = x / (x² + 1) e la sua derivata è g’(x) = (1 – x²) / (x² + 1)². Il punto stazionario positivo è x = 1, dove g(1) = 1/2. Per garantire la tangenza delle rette y = k a entrambi i grafici, si trova che 4a = 1/2, quindi a = 1/8 e k = 1/2.
