Maturità 2026: Soluzione e risposte del Problema 2 di matematica.
La successiva analisi tratta del valore di a necessario affinché il segmento AB sia minimo. Il punto stazionario A del grafico di fa è A = (2, 4a) e il punto stazionario B del grafico di g è B = (1, 1/2). La distanza AB è calcolata come:
AB = √[(2 – 1)² + (4a – 1/2)²] = √[1 + (4a – 1/2)²]
La distanza è minima quando 4a – 1/2 = 0, dando a = 1/8. Pertanto, il valore minimo del segmento AB risulta essere AB = 1.
Studio delle Funzioni con a = 1/8
Impostando la funzione f1/8(x) = x² / [8(x – 1)], essa è definita per x ≠ 1. La derivata è f’1/8(x) = x(x – 2) / [8(x – 1)²]. Pertanto, f1/8 è crescente in (-∞, 0) e decrescente in (0, 1), (1, 2), e crescente in (2, +∞). I punti stazionari sono x = 0 (massimo relativo) e x = 2 (minimo relativo).
La funzione presenta un asintoto verticale in x = 1 e un asintoto obliquo descritto da y = (x + 1) / 8. Considerando g(x), osserviamo che la funzione è continua in tutto R, ma non derivabile in x = 0 a causa del valore assoluto. Analizzando il segno di g(x) nelle diverse regioni, notiamo che presenta punti di massimo in (-1, 1/2) e (1, 1/2) e x = 0 appare come punto angoloso.
