Soluzioni quesiti 4, 5 e 6 della seconda prova di Matematica Maturità 2026.
Quesito 4: Analisi della Funzione F(x)
Si considera la funzione:
F(x) = ∫0x 1/(1+t²) dt + ∫11/x 1/(1+t²) dt, con x > 0
È necessario dimostrare che F(x) è costante e calcolarvi il valore. Iniziamo calcolando la derivata della funzione.
La derivata del primo integrale è:
F’1(x) = 1/(1+x²)
F’2(x) viene calcolata usando la regola della derivata di una funzione composta:
F’2(x) = 1/[1+(1/x)²] · (-1/x²)
Semplificando, si ottiene:
F’2(x) = -1/(x² + 1)
Quindi la derivata totale è:
F'(x) = 1/(1+x²) – 1/(1+x²) = 0
Poiché la derivata risulta zero per ogni x > 0, la funzione F(x) è costante. Per calcolarne il valore, possiamo scegliere un valore comodo, ad esempio x = 1.
F(1) = ∫01 1/(1+t²) dt + ∫11 1/(1+t²) dt
Il secondo integrale è nullo, quindi:
F(1) = ∫01 1/(1+t²) dt
La primitiva di 1/(1+t²) è arctan(t), dunque:
F(1) = arctan(1) – arctan(0) = π/4 – 0 = π/4
Quindi, la funzione è costante e vale:
F(x) = π/4
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