Soluzioni quesiti 4, 5 e 6 della seconda prova di Matematica Maturità 2026.
Quesito 5: Determinazione dei Parametri h e k
Si deve determinare il valore dei parametri reali h e k, con h ≠ 0 e k ≠ 0, affinché la curva:
y = h ln[(x² + k)⁵]
abbia le rette x = -√3 e x = √3 come asintoti verticali e che le tangenti nei punti A e B di intersezione con l’asse delle ascisse si incontrino nel punto C(0; -4).
Gli asintoti verticali della funzione logaritmica si verificano quando l’argomento del logaritmo tende a zero, cioè:
(x² + k)⁵ = 0
Imponiamo:
x² + k = 0
Da qui, segue:
x² = 3, quindi k = -3.
Sostituendo, la funzione diventa:
y = h ln[(x² – 3)⁵] = 5h ln(x² − 3)
Per trovare i punti di intersezione con l’asse x, poniamo y = 0:
5h ln(x² – 3) = 0
Poiché h ≠ 0, risolvendo si ottiene:
ln(x² – 3) = 0, quindi x² = 4 e x = ±2.
I punti di intersezione sono:
A(-2; 0) e B(2; 0).
Calcoliamo ora la derivata della funzione:
y = 5h ln(x² – 3)
y’ = 10hx/(x² – 3).
Nel punto B(2; 0):
y'(2) = 20h.
La tangente in B ha equazione:
y = 20h(x – 2).
Nella tangente in A(-2; 0):
y'(-2) = -20h e l’equazione della tangente sarà:
y = -20h(x + 2).
Imponendo le due tangenti di incontrarsi nel punto C(0; -4), sostituiamo x = 0 nella tangente in B:
-40h = -4, da cui risulta:
h = 1/10.
I valori richiesti sono dunque:
k = -3 e h = 1/10.
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